高三英语第一轮复习试题30

　　抽象函数型综合问题

　　题型预测

　　抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识．可以说，这一类问题，是考查学生能力的较好途径，因此，在近年的高考中，这一类题目有增多和分量加重的趋势．

　　范例选讲

　　例1．定义在R上的函数满足：对任意实数，总有，且当时，．

　　（1）试求的值；

　　（2）判断的单调性并证明你的结论；

　　（3）设，若，试确定的取值范围．

　　（4）试举出一个满足条件的函数．

　　讲解：（1）在中，令．得：

　　．

　　因为，所以，．

　　（2）要判断的单调性，可任取，且设．

　　在已知条件中，若取，则已知条件可化为：．

　　由于，所以．

　　为比较的大小，只需考虑的正负即可．

　　在中，令，，则得．

　　∵ 时，，

　　∴ 当时，．

　　又，所以，综上，可知，对于任意，均有．

　　∴ ．

　　∴ 函数在R上单调递减．

　　（3）首先利用的单调性，将有关函数值的不等式转化为不含的式子．

　　，

　　，即．

　　由，所以，直线与圆面无公共点．所以，

　　例2．已知定义在R上的函数满足：

　　（1）值域为，且当时，；

　　（2）对于定义域内任意的实数，均满足：

　　试回答下列问题：

　　（Ⅰ）试求的值；

　　（Ⅱ）判断并证明函数的单调性；

　　（Ⅲ）若函数存在反函数，求证：．

　　讲解：（Ⅰ）在中，令，则有．即：．

　　也即：．

　　由于函数的值域为，所以，，所以．

　　（Ⅱ）函数的单调性必然涉及到，于是，由已知，我们可以联想到：是否有

　　？（＊）

　　这个问题实际上是：是否成立？

　　为此，我们首先考虑函数的奇偶性，也即的关系．由于，所以，在中，令，得．

　　所以，函数为奇函数．故（＊）式成立．

　　所以，．

　　任取，且，则，故且．所以，

　　所以，函数在R上单调递减．

　　（Ⅲ）由于函数在R上单调递减，所以，函数必存在反函数，由原函数与反函数的关系可知：也为奇函数；在上单调递减；且当时，．

　　为了证明本题，需要考虑的关系式．

　　在（＊）式的两端，同时用作用，得：，

　　令，则，则上式可改写为：

　　．

　　不难验证：对于任意的，上式都成立．（根据一一对应）．

　　这样，我们就得到了的关系式．这个式子给我们以提示：即可以将写成的形式，则可通过裂项相消的方法化简求证式的左端．

　　事实上，由于