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GRE数学：正态分布

　　正态分布题

　　1. 先给出基本概念：

　　1.1正态分布，又称高斯分布，指变量的频数或频率呈中间最多，两端逐渐对称地减少，表现为钟形的一种概率分布。它是概率统计中最重要的一种分布，也是自然界最常见的一种分布。一般说来，若影响某一数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用都不太大，则这个指标服从正态分布。

　　1.2若随机变量X服从一个数学期望为、标准方差为的高斯分布，记为：X∽ N,则其概率密度函数为：

　　正态分布的均值a决定了其位置，其标准差决定了分布的幅度。曲线关于x=a的虚线对称，决定了曲线的胖瘦，因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线,如图所示：

　　1.3高斯型随机变量的概率分布函数，是将其密度函数取积分，即其中，

　　表示随机变量A的取值小于等于x的概率。如A的取值小于等于均值a的概率是50%。

　　1.4通常所说的标准正态分布是 = 0, = 1的正态分布，即令图1中的曲线a=0, , 就得到了标准正态分布，曲线如图。

　　对于一般的正态分布，可以通过变换，归一化到标准的正态分布，算法为：

　　设原正态分布的期望为a，标准方差为 ,欲求分布在区间的概率，可以变换为求图3中分布在间的概率。其中x与y的对应关系如下：

　　例如，若一正态分布a=9， , 区间为，则区间归一化后得到，即通过这种归一化方法就可以用标准正态分布的方法判断结果。

　　2. 本次考试中正态分布题的解法：

　　有一射击队，人数600人，对其射击结果打分，结果服从正态分布，得到算数平均分为84分，标准方差为5，假定分数大于90分的概率为k%; 另一射击队，人数400人，对其射击结果打分，结果服从正态分布，得到算数平均分为80分，标准方差为3，假定分数大于86分的概率为n%; 问k和n谁大?

　　解：第一组X∽ N;第二组Y∽ N。

　　现在，比较k和 n,即比较k% = P和 n% = P的大小。

　　归一化以后，

　　P=P标准/5)= P标准;

　　P=P标准/3)= P标准;

　　上述概率大小为图4中阴影部分的面积，所以最后k 大于 n.

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